В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Обозначения. Пусть a — большее основание, b — меньшее основание, c — боковая сторона (трапеция равнобедренная, обе боковые равны), h — высота.
Шаг 1. Условие вписанной окружности. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Для трапеции это даёт
a+b=2c.Тогда периметр
P=a+b+2c=2c+2c=4c=160⇒c=40,a+b=2c=80.Шаг 2. Высота из площади. Площадь трапеции
S=2a+b⋅h=280⋅h=40h=1280⇒h=32.Шаг 3. Основания по отдельности. Опустим высоты из концов меньшего основания на большее. Горизонтальная проекция боковой стороны равна 2a−b, и по теореме Пифагора
(2a−b)2+h2=c2⇒(2a−b)2=402−322=1600−1024=576, 2a−b=24⇒a−b=48.Вместе с a+b=80 получаем a=64, b=16.
Шаг 4. Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания. Пусть диагонали пересекаются в точке O. Основания трапеции параллельны, поэтому треугольник с вершиной O, опирающийся на меньшее основание b, подобен треугольнику, опирающемуся на большее основание a (по двум углам — накрест лежащие углы при параллельных основаниях). Коэффициент подобия равен ab.
Высоты этих подобных треугольников — это расстояния h1 от O до меньшего основания и h2 от O до большего основания, причём h1+h2=h и
h2h1=ab=6416=41.Значит h1=a+bbh=8016⋅32=80512=6,4.
Ответ: 6,4.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ