Задача №20601

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+4x+4& \text{при }x⩾-4,\\ -\frac{16}{x}& \text{при }x<-4,\end{array}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком одну или две общие точки.

Разбор графика по ветвям.

Ветвь 1 (парабола), $x⩾-4\text{:}$

$$y=x^2+4x+4=(x+2{)}^2.$$

Это парабола с вершиной в точке $(-2;0)\text{,}$ ветви вверх. На области $x⩾-4\text{:}$ в точке $x=-4$ значение $y=(-4+2{)}^2=4$ (точка $(-4;4)$ включена), далее график убывает до вершины $(-2;0)$ и снова возрастает при $x>-2\text{.}$

Ветвь 2 (гипербола), $x<-4\text{:}$

$$y=-\frac{16}{x}.$$

При $x<0$ значение положительно. Функция возрастает (её производная $16/x^2>0$): при $x\to -\infty$ имеем $y\to 0^{+}\text{,}$ а при $x\to -4^{-}$ значение $y\to -\frac{16}{-4}=4\text{,}$ но точка $x=-4$ этой ветви не принадлежит. Значит ветвь 2 покрывает значения $y\in (0;4)\text{,}$ каждое ровно один раз.

Подсчёт числа общих точек прямой $y=m$ с графиком.

Парабола: уравнение $(x+2{)}^2=m$ даёт $x=-2\pm \sqrt{m}\text{.}$

• корень $x=-2+\sqrt{m}$ всегда $⩾-2⩾-4$ — годится при всех $m⩾0\text{;}$
• корень $x=-2-\sqrt{m}⩾-4$ равносильно $\sqrt{m}⩽2\text{,}$ т.е. $m⩽4\text{.}$

Отсюда число точек на параболе:

• $m<0$ — нет точек;
• $m=0$ — одна точка (вершина);
• $0<m⩽4$ — две точки;
• $m>4$ — одна точка.

Число точек на гиперболе (значения $y\in (0;4)$):

• $0<m<4$ — одна точка;
• иначе ($m⩽0$ или $m⩾4$) — нет точек.

Итог по всему графику:

Одну или две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=0$ (одна точка), при $m=4$ (две точки) и при $m>4$ (одна точка), то есть при $m=0$ и при $m⩾4\text{.}$

Ответ: $m=0$ или $m⩾4\text{.}$