Задача №20598

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 49 и 21, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=20\text{.}$

Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ трапеции до пересечения в точке $P\text{.}$ Так как $BC\parallel AD\text{,}$ углы $PAD$ и $PDA$ — это углы трапеции при основании $AD\text{,}$ а их сумма равна $90^{\circ }\text{.}$ Значит, в треугольнике $PAD$ угол при вершине $P$ равен $180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }\text{,}$ то есть $PA\perp PD\text{.}$

Находим отрезки на боковой стороне. Треугольники $PBC$ и $PAD$ подобны (по двум углам, $BC\parallel AD$) с коэффициентом

Точка $B$ лежит между $P$ и $A\text{,}$ поэтому $PB=\frac{3}{7}PA\text{,}$ и

Отсюда $PA=\frac{7}{4}\cdot AB=\frac{7}{4}\cdot 20=35\text{,}$ а $PB=\frac{3}{7}\cdot 35=15\text{.}$

Используем касание. Искомая окружность проходит через точки $A$ и $B\text{,}$ лежащие на прямой $PA\text{,}$ и касается прямой $CD\text{,}$ то есть прямой $PD\text{.}$ Пусть $T$ — точка касания на прямой $PD\text{.}$ По свойству степени точки $P$ (секущая $PBA$ и касательная $PT$):

Находим радиус. Прямые $PA$ и $PD$ перпендикулярны в точке $P\text{.}$ Центр $O$ окружности лежит на серединном перпендикуляре к хорде $AB\text{,}$ то есть на прямой, отстоящей от $P$ вдоль $PA$ на

Поскольку окружность касается прямой $PD\text{,}$ а $PD\perp PA\text{,}$ расстояние от центра $O$ до прямой $PD$ равно этой же величине $25$ и совпадает с радиусом. Проверка: расстояние от $O$ до точки $A$ равно $\sqrt{25^2+P{T}^2\text{-компоненты}}\text{;}$ так как $O{A}^2=(35-25{)}^2+P{T}^2=100+525=625\text{,}$ получаем $OA=25\text{.}$ Значит, радиус $R=25\text{.}$

Ответ: $R=25\text{.}$