Задача №20441

В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны соответственно 28 и 4, а сумма углов при основании $AD$ равна $90^{\circ }\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$ и касающейся прямой $CD\text{,}$ если $AB=15\text{.}$

Дано: трапеция $ABCD\text{,}$ $BC\parallel AD\text{,}$ $AD=28\text{,}$ $BC=4\text{,}$ $\angle A+\angle D=90^{\circ }\text{,}$ $AB=15\text{.}$ Окружность проходит через $A$ и $B$ и касается прямой $CD\text{.}$

1. Точка пересечения боковых сторон. Продолжим боковые стороны $AB$ и $CD$ до пересечения в точке $E\text{.}$ В треугольнике $AED$ углы при вершинах $A$ и $D$ дают в сумме $\angle A+\angle D=90^{\circ }\text{,}$ поэтому

Значит, прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

2. Подобие. Так как $BC\parallel AD\text{,}$ треугольники $EBC$ и $EAD$ подобны с коэффициентом

Отсюда $EB=\frac{1}{7}EA\text{,}$ и

3. Радиус. Пусть $O$ — центр искомой окружности, а $M$ — середина хорды $AB\text{.}$ Центр лежит на серединном перпендикуляре к $AB\text{.}$ Так как прямая $AB$ перпендикулярна прямой $CD$ (п.1), серединный перпендикуляр к $AB$ параллелен прямой $CD\text{.}$ Значит, все точки этого перпендикуляра, в том числе $O\text{,}$ равноудалены от прямой $CD$ на расстояние

Поскольку окружность касается прямой $CD\text{,}$ расстояние от центра $O$ до $CD$ равно радиусу. Следовательно,

Проверка касания (степень точки). Для точки $E\text{:}$ по свойству касательной и секущей $E{T}^2=EB\cdot EA=2,5\cdot 17,5=43,75\text{.}$ С другой стороны, при $R=10$ и полухорде $AM=7,5$ получаем расстояние от центра до прямой $AB\text{:}$ $\sqrt{R^2-A{M}^2}=\sqrt{100-56,25}=\sqrt{43,75}=ET$ — согласовано.

Ответ: $R=10\text{.}$