Задача №20597

Точки $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$ на расстояниях соответственно 12 и 45 от вершины $A\text{.}$ Найдите радиус окружности, проходящей через точки $M$ и $N$ и касающейся луча $AB\text{,}$ если $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}\text{.}$

Пусть $T$ — точка касания окружности с лучом $AB\text{,}$ $O$ — центр, $R$ — искомый радиус.

1. Длина касательной. Прямая $AC$ — секущая, пересекающая окружность в точках $M$ и $N\text{;}$ прямая $AB$ касается окружности в точке $T\text{.}$ По теореме о касательной и секущей, проведённых из точки $A\text{:}$

2. Синус угла. Из $\cos \angle BAC=\frac{\sqrt{15}}{4}$ находим

3. Перпендикуляры из центра. Радиус в точку касания перпендикулярен касательной, значит $OT\perp AB$ и $OT=R\text{.}$ Пусть $P$ — середина хорды $MN\text{;}$ тогда $OP\perp AC\text{,}$ а точка $P$ — основание перпендикуляра из $O$ на прямую $AC\text{,}$ причём

4. Проекция на прямую $AC\text{.}$ Так как $P$ — проекция точки $O$ на прямую $AC\text{,}$ отрезок $AP$ равен проекции ломаной $A\to T\to O$ на направление $AC\text{.}$ Отрезок $AT$ лежит на $AB$ и образует с $AC$ угол $\angle BAC\text{,}$ а отрезок $TO$ перпендикулярен $AB\text{,}$ поэтому его проекция на $AC$ равна $R\sin \angle BAC\text{.}$ Значит

Подставляем:

Проверка. При $R=24\text{:}$ $O{M}^2=O{P}^2+P{M}^2=(R^2-A{P}^2+\dots )$ — прямым расчётом $OM=ON=24=R\text{,}$ окружность действительно проходит через $M$ и $N$ и касается $AB\text{.}$

Ответ: $24\text{.}$