Задача №20594

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC\text{,}$ пересекает
стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $BN\text{,}$
если $MN=18\text{,}$ $AC=42\text{,}$ $NC=40\text{.}$

Прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{,}$ поэтому треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам: угол $B$ у них общий, а углы $BMN$ и $BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB\text{.}$

Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:

Сторона $BC$ складывается из отрезков $BN$ и $NC\text{:}$ $BC=BN+NC=BN+40\text{.}$ Обозначим $BN=x\text{,}$ тогда

Решим уравнение:

Проверка. При $BN=30$ имеем $BC=30+40=70\text{,}$ и $\frac{BN}{BC}=\frac{30}{70}=\frac{3}{7}=\frac{18}{42}=\frac{MN}{AC}$ — совпадает.

Ответ: $30\text{.}$