Задача №20270

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=10\text{,}$ $AC=40\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B\text{.}$ Отрезок $BH$ — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу $AC\text{,}$ поэтому точка $H$ лежит на $AC\text{,}$ а $AH$ — проекция катета $AB$ на гипотенузу.

Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному. Из подобия треугольников $ABH$ и $ACB$ (общий угол $A\text{,}$ прямые углы $\angle AHB=\angle ABC=90^{\circ }$) следует

Отсюда получаем метрическое соотношение (квадрат катета равен произведению его проекции на гипотенузу и всей гипотенузы):

Подставляем данные $AH=10\text{,}$ $AC=40\text{:}$

Ответ: $AB=20\text{.}$