Задача №20591

Решите неравенство $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{x-4}\text{.}$

Область допустимых значений: $x\ne 0$ и $x\ne 4\text{.}$

Перенесём всё в левую часть и приведём к общему знаменателю:

Числитель $-4<0$ — постоянный и отрицательный, поэтому дробь неотрицательна только тогда, когда знаменатель отрицателен:

Корни $x=0$ и $x=4\text{;}$ парабола $y=x(x-4)$ ветвями вверх отрицательна между корнями:

Оба конца исключены (это как раз точки ОДЗ), поэтому ответ — открытый интервал.

Проверка: при $x=2$ имеем $\frac{1}{2}\ge \frac{1}{-2}\text{,}$ то есть $0,5\ge -0,5$ — верно; при $x=5\text{:}$ $0,2\ge 1$ — неверно.

Ответ: $(0;4)\text{.}$