Задача №19044

Решите неравенство ${(x-4)}^2<\sqrt{6}(x-4)\text{.}$

Перенесём всё в левую часть:

Вынесем общий множитель $(x-4)\text{:}$

Обозначим $t=x-4\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид $t(t-\sqrt{6})<0\text{.}$ Это квадратное неравенство с корнями $t_1=0$ и $t_2=\sqrt{6}\text{;}$ ветви параболы направлены вверх, поэтому произведение отрицательно строго между корнями:

Возвращаемся к переменной $x\text{:}$ $0<x-4<\sqrt{6}\text{,}$ откуда

Проверка: при $x=5$ имеем $t=1\text{,}$ $1<\sqrt{6}\approx 2,449$ — верно; при $x=4$ получаем $0<0$ — неверно; при $x=4+\sqrt{6}$ получаем $6<6$ — неверно, значит концы не входят.

Ответ: $x\in (4;4+\sqrt{6})\text{.}$