Задача №18782

Решите неравенство

$$(x^2+x-30)(x^2+x-12)\le 0.$$

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители.

Первый: $x^2+x-30=0$ имеет корни $x=-6$ и $x=5$ (по теореме Виета: сумма $-1\text{,}$ произведение $-30$), значит $x^2+x-30=(x+6)(x-5)\text{.}$

Второй: $x^2+x-12=0$ имеет корни $x=-4$ и $x=3$ (сумма $-1\text{,}$ произведение $-12$), значит $x^2+x-12=(x+4)(x-3)\text{.}$

Неравенство принимает вид

$$(x+6)(x-5)(x+4)(x-3)\le 0.$$

Нули левой части: $x=-6,-4,3,5\text{.}$ Отметим их на числовой прямой и применим метод интервалов. Старший коэффициент положителен (произведение четырёх скобок при больших $x$ положительно), поэтому знаки на интервалах, начиная справа, чередуются $+,-,+,-,+\text{:}$

• $x>5\text{:}$ $+$
• $3<x<5\text{:}$ $-$
• $-4<x<3\text{:}$ $+$
• $-6<x<-4\text{:}$ $-$
• $x<-6\text{:}$ $+$

Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому берём промежутки со знаком минус вместе с граничными нулями:

$$x\in [-6;-4]\cup [3;5].$$

Ответ: $x\in [-6;-4]\cup [3;5]\text{.}$