Задача №20590

Точка $H$ является основанием высоты $BH\text{,}$ проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC\text{.}$ Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $PK\text{,}$ если $BH=12\text{.}$

Точки $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH\text{.}$ Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому:

• $\angle BPH=90^{\circ }$ (угол опирается на диаметр $BH$), значит $HP\perp AB\text{;}$
• $\angle BKH=90^{\circ }$ (угол опирается на диаметр $BH$), значит $HK\perp CB\text{.}$

Рассмотрим четырёхугольник $BPHK\text{.}$ У него три прямых угла:

Если у четырёхугольника три угла прямые, то и четвёртый прямой, поэтому $BPHK$ — прямоугольник.

Отрезки $BH$ и $PK$ — диагонали этого прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны, следовательно:

Ответ: $PK=12\text{.}$