Задача №20589

Постройте график функции

$y=\frac{9x+1}{9x^2+x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упростим функцию. В знаменателе вынесем общий множитель:

$$9x^2+x=x(9x+1).$$

Тогда

$$y=\frac{9x+1}{x(9x+1)}=\frac{1}{x}.$$

Область определения задаёт два условия: $x\ne 0$ и $9x+1\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne -\frac{1}{9}\text{.}$

2. График. Это гипербола $y=\frac{1}{x}\text{,}$ из которой выколота точка с $x=-\frac{1}{9}\text{.}$ Её ордината: $y=\frac{1}{-1/9}=-9\text{,}$ то есть выколота точка $\left(-\frac{1}{9};-9\right)\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$ Прямая проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}.$$

• При $k\le 0$ уравнение решений не имеет — 0 общих точек.
• При $k>0$ два корня $x=\pm \frac{1}{\sqrt{k}}$ — 2 общие точки гиперболы $y=\frac{1}{x}\text{.}$

4. Условие «ровно одна общая точка». Так как прямая через начало координат либо не пересекает гиперболу, либо пересекает её в двух точках, ровно одна общая точка с графиком получается только тогда, когда одна из двух точек пересечения — это выколотая точка $\left(-\frac{1}{9};-9\right)\text{.}$

Подставим её в $y=kx\text{:}$

$$-9=k\cdot \left(-\frac{1}{9}\right)\Rightarrow k=81.$$

Проверка: при $k=81$ имеем $x^2=\frac{1}{81}\text{,}$ $x=\pm \frac{1}{9}\text{.}$ Точка $\left(-\frac{1}{9};-9\right)$ выколота, остаётся единственная точка $\left(\frac{1}{9};9\right)\text{.}$

При любом другом $k>0$ обе точки принадлежат графику (две общие точки), а при $k\le 0$ общих точек нет.

Ответ: $k=81\text{.}$