Задача №19900

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x+3)-5x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскроем модуль и запишем функцию по промежуткам.

При $x\ge 0\text{:}$ $y=x(x+3)-5x=x^2-2x$ — парабола ветвями вверх с вершиной $(1;-1)\text{,}$ проходит через $(0;0)$ и $(2;0)\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $y=-x(x+3)-5x=-x^2-8x$ — парабола ветвями вниз с вершиной $(-4;16)\text{;}$ при $x\to 0^{-}$ значение стремится к $0\text{.}$

График составлен из правой ветви ($x\ge 0$) параболы $y=x^2-2x$ и левой ветви ($x<0$) параболы $y=-x^2-8x\text{;}$ в точке $(0;0)$ ветви соединяются.

Подсчёт общих точек горизонтальной прямой $y=m$ с графиком.

На правой части ($x\ge 0$): уравнение $x^2-2x=m$ имеет корни $x=1\pm \sqrt{1+m}\text{.}$ Число подходящих корней ($x\ge 0$):

• $m>0$ — один корень;
• $m=0$ — два корня ($x=0,x=2$);
• $-1<m<0$ — два корня;
• $m=-1$ — один корень (вершина $x=1$);
• $m<-1$ — нет корней.

На левой части ($x<0$): уравнение $-x^2-8x=m\text{,}$ т.е. $x^2+8x+m=0\text{,}$ корни $x=-4\pm \sqrt{16-m}\text{.}$ Число подходящих корней ($x<0$):

• $m>16$ — нет корней;
• $m=16$ — один корень (вершина $x=-4$);
• $0<m<16$ — два корня;
• $m\le 0$ — один корень.

Суммарное число общих точек по промежуткам $m\text{:}$

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет с графиком при $m=-1$ и при $m=16\text{.}$

Ответ: $m=-1\text{,}$ $m=16\text{.}$