Задача №19804

Постройте график функции

$y=\frac{3|x|-1}{|x|-3x^2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $k$ прямая $y=kx$ не имеет с графиком общих точек.

1. Упростим формулу функции.

Поскольку $x^2=|x{|}^2\text{,}$ знаменатель раскладывается на множители:

$$|x|-3x^2=|x|-3|x{|}^2=|x|(1-3|x|).$$

Числитель: $3|x|-1=-(1-3|x|)\text{.}$ Тогда

$$y=\frac{-(1-3|x|)}{|x|(1-3|x|)}=-\frac{1}{|x|}.$$

2. Область определения.

Сокращать можно при условии, что знаменатель не обращается в ноль:

$$|x|\ne 0\text{и}1-3|x|\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne \pm \frac{1}{3}.$$

Значит график совпадает с графиком $y=-\frac{1}{|x|}\text{,}$ но из него выколоты две точки при $x=\pm \frac{1}{3}\text{.}$ В этих точках

$$y=-\frac{1}{1/3}=-3,$$

то есть выколоты точки $\left(\frac{1}{3};-3\right)$ и $\left(-\frac{1}{3};-3\right)\text{.}$

3. Как выглядит график.

Функция чётная ($y(-x)=y(x)$), поэтому график симметричен относительно оси $Oy\text{.}$ При $x>0$ это ветвь $y=-\frac{1}{x}$ (в IV четверти), при $x<0$ — ветвь $y=\frac{1}{x}$ (в III четверти). Все значения отрицательны, обе ветви лежат ниже оси $Ox\text{.}$ На графике выколоты точки $\left(\pm \frac{1}{3};-3\right)\text{.}$

4. Пересечение с прямой $y=kx\text{.}$

Прямая $y=kx$ проходит через начало координат. Приравняем:

$$kx=-\frac{1}{|x|}.$$

• Для $x>0\text{:}$ $kx=-\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=-1\Rightarrow x^2=-\frac{1}{k}\text{.}$ Корень существует только при $k<0\text{,}$ тогда $x=\sqrt{-\frac{1}{k}}\text{.}$
• Для $x<0\text{:}$ $kx=-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}\Rightarrow k{x}^2=1\Rightarrow x^2=\frac{1}{k}\text{.}$ Корень существует только при $k>0\text{,}$ тогда $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\text{.}$

Итак: при $k<0$ есть ровно одна общая точка (на правой ветви), при $k>0$ — ровно одна (на левой ветви).

5. Когда общих точек нет.

Случай $k=0\text{.}$ Прямая $y=0$ — ось $Ox\text{.}$ График всюду отрицателен ($y=-\frac{1}{|x|}<0$), поэтому общих точек нет.

Выколотые точки. Единственная точка пересечения может попасть в выколотую точку — тогда её нет на графике, и общих точек не остаётся.

• При $k<0$ пересечение в $x=\sqrt{-\frac{1}{k}}\text{.}$ Оно совпадает с выколотой $x=\frac{1}{3}\text{,}$ если $\sqrt{-\frac{1}{k}}=\frac{1}{3}\Rightarrow -\frac{1}{k}=\frac{1}{9}\Rightarrow k=-9\text{.}$
• При $k>0$ пересечение в $x=-\sqrt{\frac{1}{k}}\text{.}$ Оно совпадает с выколотой $x=-\frac{1}{3}\text{,}$ если $\sqrt{\frac{1}{k}}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{k}=\frac{1}{9}\Rightarrow k=9\text{.}$

В этих двух случаях единственный кандидат на пересечение выколот, поэтому общих точек с графиком нет. (Проверка: прямая $y=kx$ проходит через выколотую точку $\left(\frac{1}{3};-3\right)$ при $-3=k\cdot \frac{1}{3}\text{,}$ т.е. $k=-9\text{;}$ через $\left(-\frac{1}{3};-3\right)$ — при $k=9\text{.}$)

При всех остальных $k$ пересечение существует и лежит на графике.

Ответ: $k=-9\text{,}$ $k=0\text{,}$ $k=9\text{.}$