Задача №19792

Постройте график функции

$y=5-\frac{x+5}{x^2+5x}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.

1. Упрощаем формулу. В знаменателе вынесем общий множитель:

$$x^2+5x=x(x+5).$$

Тогда при $x\ne 0$ и $x\ne -5$

$$\frac{x+5}{x^2+5x}=\frac{x+5}{x(x+5)}=\frac{1}{x}.$$

Поэтому

$$y=5-\frac{1}{x},x\ne 0,x\ne -5.$$

2. График. Это гипербола $y=5-\frac{1}{x}$ (то есть $y=-\frac{1}{x}\text{,}$ сдвинутая вверх на $5$) с горизонтальной асимптотой $y=5$ и вертикальной асимптотой $x=0\text{.}$ Из области определения выколота ещё точка при $x=-5\text{:}$ её ордината

$$y=5-\frac{1}{-5}=5,2,$$

то есть точка $(-5;5,2)$ на графике отсутствует (выколота).

3. Когда прямая $y=m$ не пересекает график. Функция $y=5-\frac{1}{x}$ принимает все значения, кроме $y=5$ (горизонтальная асимптота — значение $5$ не достигается, ведь $\frac{1}{x}\ne 0$). Кроме того, из-за выколотой точки не достигается значение $y=5,2\text{:}$ уравнение $5-\frac{1}{x}=5,2$ даёт $x=-5\text{,}$ а эта точка исключена.

Поэтому прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек ровно при $m=5$ и $m=5,2\text{.}$

Ответ: $m=5$ или $m=5,2\text{.}$