Задача №20588

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& \text{при }x⩾-2,\\ -\frac{6}{x},& \text{при }x<-2.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построение графика. Функция задана кусочно:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2,& x⩾-2,\\ -\frac{6}{x},& x<-2.\end{array}$$

Ветвь 1 ($x⩾-2$): парабола $y=x^2+2\text{.}$ Вершина в точке $(0;2)\text{,}$ ветви вверх. На отрезке $[-2;0]$ функция убывает от $y(-2)=6$ до $y(0)=2\text{;}$ при $x⩾0$ возрастает от $2$ до $+\infty \text{.}$ Точка $(-2;6)$ входит в график (нестрогое неравенство).

Ветвь 2 ($x<-2$): гипербола $y=-\frac{6}{x}\text{.}$ При $x<-2$ значения положительны. Производная $y^{\prime }=\frac{6}{x^2}>0$ — функция возрастает. При $x\to -\infty$ имеем $y\to 0^{+}\text{,}$ при $x\to -2^{-}$ имеем $y\to 3^{-}\text{.}$ Значит эта ветвь пробегает интервал $y\in (0;3)\text{,}$ причём точка $x=-2$ (где $y=3$) не входит.

Сколько точек даёт прямая $y=m$ на каждой ветви.

Ветвь 1 (парабола):

• $m<2$ — $0$ точек;
• $m=2$ — $1$ точка (вершина);
• $2<m⩽6$ — $2$ точки (одна на убывающем участке $[-2;0]\text{,}$ одна на возрастающем);
• $m>6$ — $1$ точка (на возрастающем участке; убывающий участок даёт максимум $6$).

Ветвь 2 (гипербола):

• $0<m<3$ — $1$ точка;
• иначе — $0$ точек.

Суммарное число общих точек.

Ровно одну общую точку прямая $y=m$ имеет при $0<m<2$ и при $m>6\text{.}$

Проверка. При $m=1\text{:}$ парабола — нет решений ($x^2+2=1$ невозможно), гипербола $-\frac{6}{x}=1$ даёт $x=-6<-2$ — одна точка. При $m=7\text{:}$ гипербола не пересекает ($m>3$), парабола $x^2+2=7$ даёт $x=\sqrt{5}$ — одна точка. При $m=6\text{:}$ парабола даёт две точки ($x=-2$ и $x=2$) — не подходит.

Ответ: $0<m<2$ или $m>6\text{.}$