Решите неравенство (x^2-3x-10)(x^2-8x+15)<= 0.

Задача №20586: Уравнения, неравенства и их системы

Разложим каждый квадратный трёхчлен на множители.

$x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x + 2)$ (корни $5$ и $- 2$ ).

$x^{2} - 8 x + 15 = (x - 5) (x - 3)$ (корни $5$ и $3$ ).

Тогда неравенство принимает вид

(x - 5) (x + 2) \cdot (x - 5) (x - 3) \leq 0,

то есть

(x + 2) (x - 3) (x - 5)^{2} \leq 0.

Множитель $(x - 5)^{2} \geq 0$ при всех $x$ и обращается в нуль при $x = 5 .$

Если $x = 5,$ то левая часть равна $0$ — неравенство выполнено.
Если $x \neq = 5,$ то $(x - 5)^{2} > 0,$ и знак произведения совпадает со знаком $(x + 2) (x - 3) .$ Нужно $(x + 2) (x - 3) \leq 0,$ что даёт $- 2 \leq x \leq 3 .$

Объединяя, получаем $x \in [- 2; 3] \cup {5} .$

Ответ: $[- 2; 3] \cup {5} .$