Задача №20080

Решите неравенство

$$\frac{x^2-7x+10}{x-2}\le 0.$$

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, значит $x-2\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 2\text{.}$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-7x+10=0$ по теореме Виета: $x_1=2\text{,}$ $x_2=5$ (сумма $7\text{,}$ произведение $10$). Значит $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{(x-2)(x-5)}{x-2}\le 0.$$

При $x\ne 2$ множитель $(x-2)$ в числителе и знаменателе сокращается, и неравенство равносильно системе:

$$\{\begin{array}{l}x-5\le 0,\\ x\ne 2.\end{array}$$

Отсюда $x\le 5$ и $x\ne 2\text{.}$

Таким образом, решение — все числа, не превосходящие $5\text{,}$ кроме $x=2\text{:}$

$$x\in (-\infty ;2)\cup (2;5].$$

Ответ: $(-\infty ;2)\cup (2;5]\text{.}$