Задача №19838

Углы при одном из оснований трапеции равны $77^{\circ }$ и $13^{\circ }\text{,}$ а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Пусть в трапеции $ABCD$ основания $BC=b$ и $AD=a$ (пусть $a>b$), а углы при основании $AD$ равны $\angle A=77^{\circ }$ и $\angle D=13^{\circ }\text{.}$

Отрезок между серединами боковых сторон — это средняя линия. Она равна полусумме оснований:

Отрезок между серединами оснований. Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $P\text{.}$ Углы при $AD$ дают в треугольнике $APD\text{:}$

Значит треугольник $APD$ прямоугольный с прямым углом при вершине $P\text{.}$ Пусть $M$ — середина $AD\text{,}$ $N$ — середина $BC\text{.}$ Точки $P\text{,}$ $N\text{,}$ $M$ лежат на одной прямой (по построению $N$ и $M$ — середины параллельных оснований).

В прямоугольном треугольнике $APD$ медиана $PM\text{,}$ проведённая к гипотенузе $AD\text{,}$ равна её половине:

Аналогично в прямоугольном треугольнике $BPC$ (углы те же, $\angle BPC=90^{\circ }$) медиана к гипотенузе $BC\text{:}$

Поэтому отрезок между серединами оснований равен

Составим систему. Средняя линия больше отрезка между серединами оснований, поэтому большему из данных чисел $11$ отвечает средняя линия, меньшему $10$ — отрезок $MN\text{:}$

Отсюда

Проверка: средняя линия $\frac{21+1}{2}=11\text{,}$ отрезок между серединами оснований $\frac{21-1}{2}=10$ — совпадает с условием.

Ответ: основания трапеции равны $1$ и $21\text{.}$