Задача №20580

Решите неравенство $(9-x)(x^2-81)\ge 0\text{.}$

Разложим левую часть на множители. Так как $x^2-81=(x-9)(x+9)\text{,}$ неравенство

принимает вид

Заметим, что $9-x=-(x-9)\text{,}$ поэтому

то есть

Множитель $(x-9{)}^2\ge 0$ при любом $x\text{.}$ Разберём случаи:

• если $x=9\text{,}$ то $(x-9{)}^2=0$ и произведение равно $0$ — неравенство выполнено;
• если $x\ne 9\text{,}$ то $(x-9{)}^2>0\text{,}$ и остаётся условие $x+9\le 0\text{,}$ то есть $x\le -9\text{.}$

Объединяя, получаем $x\le -9$ или $x=9\text{.}$

Проверка: при $x=-10\text{:}$ $(9+10)(100-81)=19\cdot 19>0$ — верно; при $x=0\text{:}$ $9\cdot (-81)<0$ — не входит; при $x=9\text{:}$ $0$ — входит; при $x=10\text{:}$ $-1\cdot 19<0$ — не входит.

Ответ: $(-\infty ;-9]\cup \{9\}\text{.}$