Задача №20137

Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD\text{,}$ если $AB=10\text{,}$ а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 12 и 5.

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам. Пусть $O$ — центр окружности, $R$ — радиус.

Шаг 1. Находим радиус по хорде $AB\text{.}$
Расстояние от центра до хорды $AB$ равно $12\text{,}$ а половина хорды равна $\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{.}$ Перпендикуляр из центра, половина хорды и радиус образуют прямоугольный треугольник, где радиус — гипотенуза. По теореме Пифагора:

Шаг 2. Находим половину хорды $CD\text{.}$
Для хорды $CD$ расстояние от центра равно $5\text{.}$ Аналогично:

Шаг 3. Значит $CD=2\cdot 12=24\text{.}$

Ответ: $24\text{.}$