Задача №19851

Постройте график функции

$y=|x|\cdot (x+2)-3x\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Раскроем модуль. Функция $y=|x|\cdot (x+2)-3x$ задаётся двумя формулами.

При $x\ge 0\text{:}$ $|x|=x\text{,}$ поэтому

$$y=x(x+2)-3x=x^2+2x-3x=x^2-x.$$

Это часть параболы, ветви вверх, с вершиной в точке $x=\frac{1}{2}\text{,}$ $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}\text{,}$ то есть $\left(0,5;-0,25\right)\text{;}$ при $x=0$ имеем $y=0\text{.}$

При $x<0\text{:}$ $|x|=-x\text{,}$ поэтому

$$y=-x(x+2)-3x=-x^2-2x-3x=-x^2-5x.$$

Это часть параболы, ветви вниз, с вершиной в точке $x=-\frac{5}{2}\text{,}$ $y=-{\left(-\frac{5}{2}\right)}^2-5\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}=\frac{25}{4}=6,25\text{,}$ то есть $\left(-2,5;6,25\right)\text{;}$ нули этой ветви — $x=0$ и $x=-5\text{.}$

2. Опишем график. Обе части «сшиваются» в точке $(0;0)\text{.}$ Двигаясь слева направо: левая ветвь поднимается из $-\infty$ до локального максимума $6,25$ в точке $x=-2,5\text{,}$ затем график монотонно убывает до локального минимума $-0,25$ в точке $x=0,5\text{,}$ после чего снова возрастает до $+\infty \text{.}$ То есть у графика есть локальный максимум $y=6,25$ и локальный минимум $y=-0,25\text{.}$

3. Пересечение с прямой $y=m\text{.}$ Горизонтальная прямая $y=m$ даёт столько общих точек, сколько раз график принимает значение $m\text{:}$

• при $m>6,25$ — $1$ точка (только на правой возрастающей ветви);
• при $m=6,25$ — прямая касается вершины левой параболы и пересекает правую ветвь: $2$ точки;
• при $-0,25<m<6,25$ — $3$ точки;
• при $m=-0,25$ — прямая касается вершины правой параболы и пересекает левую ветвь: $2$ точки;
• при $m<-0,25$ — $1$ точка.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет только в двух случаях: касание в вершине одной параболы плюс пересечение другой ветви.

Ответ: $m=-0,25$ или $m=6,25\text{.}$