Задача №19243

Постройте график функции

$y=\{\begin{array}{l}x-0,5,\text{если}x<-2,\\ -2x-6,5,\text{если}-2⩽x⩽-1,\\ x-3,5,\text{если}x>-1,\end{array}$

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график по трём кускам.

1) $x<-2\text{:}$ $y=x-0,5$ — луч с угловым коэффициентом $1\text{.}$ При $x\to -2^{-}$ значение $y\to -2-0,5=-2,5$ (точка $(-2;-2,5)$ выколота, слева от неё луч уходит вниз в $-\infty$).

2) $-2⩽x⩽-1\text{:}$ $y=-2x-6,5$ — отрезок с коэффициентом $-2\text{.}$ Концы: при $x=-2$ имеем $y=4-6,5=-2,5\text{;}$ при $x=-1$ имеем $y=2-6,5=-4,5\text{.}$ Отрезок из $(-2;-2,5)$ в $(-1;-4,5)\text{.}$

3) $x>-1\text{:}$ $y=x-3,5$ — луч с коэффициентом $1\text{.}$ При $x\to -1^{+}$ значение $y\to -1-3,5=-4,5$ (точка $(-1;-4,5)$ выколота, вправо луч уходит вверх в $+\infty$).

В точках стыка функция непрерывна: значения совпадают в $x=-2$ ($-2,5$) и в $x=-1$ ($-4,5$). Итог — «зубец»: график поднимается из $-\infty \text{,}$ достигает локального максимума $(-2;-2,5)\text{,}$ опускается к локальному минимуму $(-1;-4,5)$ и снова растёт к $+\infty \text{.}$

Прямая $y=m$ горизонтальна; число общих точек с графиком считаем по $m\text{:}$

• $m>-2,5\text{:}$ только правый луч даёт пересечение — 1 точка.
• $m=-2,5\text{:}$ левый луч выколот (не достаёт $-2,5$), но пересекают отрезок (вершина $x=-2$) и правый луч ($x=1$) — 2 точки.
• $-4,5<m<-2,5\text{:}$ пересекают левый луч, отрезок и правый луч — 3 точки.
• $m=-4,5\text{:}$ правый луч выколот, но пересекают левый луч ($x=-4$) и отрезок (вершина $x=-1$) — 2 точки.
• $m<-4,5\text{:}$ только левый луч — 1 точка.

Ровно две общие точки прямая $y=m$ имеет при $m=-2,5$ и при $m=-4,5$ (значения в вершинах «зубца», где один из лучей выколот).

Ответ: $m=-4,5\text{;}$ $m=-2,5\text{.}$