Задача №20567

Постройте график функции

$y=\frac{(0,25x^2+0,5x)\cdot |x|}{x+2}\text{.}$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не имеет с графиком
ни одной общей точки.

Упростим формулу. Разложим числитель на множители:

$$0,25x^2+0,5x=0,25x(x+2).$$

Тогда при $x\ne -2$

$$y=\frac{0,25x(x+2)\cdot |x|}{x+2}=0,25x|x|.$$

Область определения: $x\ne -2$ (в этой точке знаменатель обращается в ноль).

Раскроем модуль.

$$y=\{\begin{array}{ll}0,25x^2,& x\ge 0,\\ -0,25x^2,& x<0,x\ne -2.\end{array}$$

Это две ветви парабол: при $x\ge 0$ — правая ветвь параболы $y=0,25x^2$ (значения $y\ge 0$); при $x<0$ — ветвь параболы $y=-0,25x^2$ (значения $y<0$).

Выколотая точка. При $x=-2$ функция не определена. Если бы точка входила в график, её ордината была бы

$$y=-0,25\cdot (-2{)}^2=-1.$$

Значит, точка $(-2;-1)$ выколота.

Множество значений функции. Правая ветвь даёт все $y\ge 0\text{;}$ левая ветвь при $x<0$ монотонно принимает все значения $y<0\text{,}$ но значение $y=-1$ достигается только в $x=-2\text{,}$ которая исключена. Поэтому график принимает все значения, кроме $y=-1\text{.}$

Прямая $y=m\text{.}$ Прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда $m$ не входит в множество значений функции, то есть при $m=-1\text{.}$

Ответ: $m=-1\text{.}$