Постройте график функции
y={−x2−2x−3,−x−7,при x⩾−2,при x<−2.Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.
1. Разбираем первую часть: y=−x2−2x−3 при x⩾−2.
Выделим полный квадрат:
−x2−2x−3=−(x2+2x+1)−2=−(x+1)2−2.Это парабола с ветвями вниз и вершиной (−1;−2). Берём её только при x⩾−2. Контрольные точки: x=−2⇒y=−3 (точка входит в график), x=−1⇒y=−2 (вершина, наибольшее значение), x=0⇒y=−3, x=1⇒y=−6.
На отрезке [−2;−1] функция возрастает от −3 до −2, при x⩾−1 убывает от −2 до −∞.
2. Разбираем вторую часть: y=−x−7 при x<−2.
Это луч прямой без концевой точки. При x=−2 было бы y=−5 — точка (−2;−5) выколота. При x→−∞ значение y→+∞. Значит, на этом луче функция принимает все значения y>−5, каждое ровно один раз. Контрольные точки: (−3;−4), (−5;−2), (−7;0).
3. Сколько общих точек даёт каждый кусок с прямой y=m.
Луч (x<−2): одна точка при m>−5; ни одной при m⩽−5.
Парабола (x⩾−2): её значения — это (−∞;−2], причём
4. Складываем и отбираем ровно две точки.
| Значения m | луч | парабола | всего |
|---|---|---|---|
| m>−2 | 1 | 0 | 1 |
| m=−2 | 1 | 1 | 2 |
| −3⩽m<−2 | 1 | 2 | 3 |
| −5<m<−3 | 1 | 1 | 2 |
| m=−5 | 0 | 1 | 1 |
| m<−5 | 0 | 1 | 1 |
Проверка на примере m=−4: из −(x+1)2−2=−4 получаем (x+1)2=2, x=−1±2; условию x⩾−2 удовлетворяет только x=−1+2. Из −x−7=−4 получаем x=−3<−2 — подходит. Итого две точки.
Проверка на примере m=−2,5: (x+1)2=0,5 даёт два корня x=−1±22, оба ⩾−2; плюс точка на луче — получается три точки, поэтому такие m не подходят.
Ответ: m=−2 и −5<m<−3.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Функции и начала анализа
ФИПИ