Постройте график функции y=cases -x^(2)-2x-3, & при x -2, -x-7, & при x<-2. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем первую часть: y=-x^2-2x-3 при x -2. Выделим полный квадрат: -x^2-2x-3=-(x^2+2x+1)-2=-(x+1)^2-2. Это парабола с ветвями вниз и вершиной (-1;-2). Берём её только при x -2. Контрольные точки: x=-2=> y=-3 (точка входит в график), x=-1=> y=-2 (вершина, наибольшее значение), x=0=> y=-3, x=1=> y=-6. На отрезке [-2;-1] функция возрастает от -3 до -2, при x -1 убывает от -2 до -inf. Разбираем вторую часть: y=-x-7 при x<-2. Это луч прямой без концевой точки. При x=-2 было бы y=-5 — точка (-2;-5) выколота. При x-inf значение y+inf. Значит, на этом луче функция принимает все значения y>-5, каждое ровно один раз. Контрольные точки: (-3;-4), (-5;-2), (-7;0). Сколько общих точек даёт каждый кусок с прямой y=m. Луч (x<-2): одна точка при m>-5; ни одной при m -5. Парабола (x -2): её значения — это (-inf;-2], причём при m>-2 — точек нет; при m=-2 — одна точка (вершина (-1;-2)); при -3 m<-2 — две точки (одна на возрастающей части [-2;-1], другая на убывающей); при m<-3 — одна точка (возрастающая часть покрывает лишь значения от -3 до -2, остаётся только убывающая ветвь). Складываем и отбираем ровно две точки. | Значения m | луч | парабола | всего | |---|---|---|---| | m>-2 | 1 | 0 | 1 | | m=-2 | 1 | 1 | 2 | | -3 m<-2 | 1 | 2 | 3 | | -5<m<-3 | 1 | 1 | 2 | | m=-5 | 0 | 1 | 1 | | m<-5 | 0 | 1 | 1 | Проверка на примере m=-4: из -(x+1)^2-2=-4 получаем (x+1)^2=2, x=-1+-2; условию x-2 удовлетворяет только x=-1+2. Из -x-7=-4 получаем x=-3<-2 — подходит. Итого две точки. Проверка на примере m=-2,5: (x+1)^2=0,5 даёт два корня x=-1+-(2)/(2), оба -2; плюс точка на луче — получается три точки, поэтому такие m не подходят. Ответ: m=-2 и -5<m<-3.

m = -2; -5 < m < -3