Задача №18881

Постройте график функции

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^2+6x+7,& x⩾-4,\\ x+10,& x<-4.\end{array}$$

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Разбираем куски функции.

При $x⩾-4\text{:}$ $y=x^2+6x+7=(x+3{)}^2-2$ — часть параболы с вершиной $(-3;-2)\text{,}$ ветви вверх. Левый конец куска: при $x=-4$ получаем $y=16-24+7=-1\text{,}$ точка $(-4;-1)$ входит в график (закрашенная).

На отрезке $[-4;-3]$ функция убывает от $-1$ до $-2\text{;}$ при $x⩾-3$ возрастает от $-2$ до $+\infty \text{.}$

При $x<-4\text{:}$ $y=x+10$ — луч без концевой точки; при $x\to -4^{-}$ имеем $y\to 6\text{,}$ точка $(-4;6)$ выколота. На этом куске функция возрастает, значит она принимает каждое значение $m<6$ ровно один раз и не принимает значений $m⩾6\text{.}$

2. Считаем число общих точек с прямой $y=m\text{.}$

Луч ($x<-4$) даёт: $1$ точку при $m<6$ и $0$ точек при $m⩾6\text{.}$

Параболическая часть ($x⩾-4$) даёт:

• $0$ точек при $m<-2\text{;}$
• $1$ точку при $m=-2$ (вершина $x=-3$);
• $2$ точки при $-2<m⩽-1$ (одна на убывающем участке $[-4;-3]\text{,}$ одна на возрастающем);
• $1$ точку при $m>-1$ (только на возрастающем участке, так как значение $-1$ на убывающем участке достигается лишь в концевой точке $x=-4$).

3. Складываем.

Проверка граничного случая $m=6\text{:}$ $x^2+6x+7=6⟺x^2+6x+1=0⟺x=-3\pm 2\sqrt{2}\text{;}$ условию $x⩾-4$ удовлетворяет только $x=-3+2\sqrt{2}\approx -0,17\text{,}$ а точка $(-4;6)$ на луче выколота — итого одна общая точка.

Ответ: $m=-2$ и $-1<m<6\text{.}$