Постройте график функции y=cases x^(2)+6x+7, & x -4, x+10, & x<-4. cases Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Разбираем куски функции. При x -4: y=x^(2)+6x+7=(x+3)^(2)-2 — часть параболы с вершиной (-3;-2), ветви вверх. Левый конец куска: при x=-4 получаем y=16-24+7=-1, точка (-4;-1) входит в график (закрашенная). На отрезке [-4;-3] функция убывает от -1 до -2; при x -3 возрастает от -2 до +inf. При x<-4: y=x+10 — луч без концевой точки; при x -4^(-) имеем y 6, точка (-4;6) выколота. На этом куске функция возрастает, значит она принимает каждое значение m<6 ровно один раз и не принимает значений m 6. Считаем число общих точек с прямой y=m. Луч (x<-4) даёт: 1 точку при m<6 и 0 точек при m 6. Параболическая часть (x -4) даёт: 0 точек при m<-2; 1 точку при m=-2 (вершина x=-3); 2 точки при -2<m -1 (одна на убывающем участке [-4;-3], одна на возрастающем); 1 точку при m>-1 (только на возрастающем участке, так как значение -1 на убывающем участке достигается лишь в концевой точке x=-4). Складываем. | m | луч | парабола | всего | |---|---|---|---| | m<-2 | 1 | 0 | 1 | | m=-2 | 1 | 1 | 2 | | -2<m -1 | 1 | 2 | 3 | | -1<m<6 | 1 | 1 | 2 | | m 6 | 0 | 1 | 1 | Проверка граничного случая m=6: x^(2)+6x+7=6 x^(2)+6x+1=0 x=-3+- 2sqrt(2); условию x -4 удовлетворяет только x=-3+2sqrt(2)~ -0,17, а точка (-4;6) на луче выколота — итого одна общая точка. Ответ: m=-2 и -1<m<6.

m = -2; -1 < m < 6