Задача №20566

Точка $H$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $B$ треугольника $ABC$ к гипотенузе $AC\text{.}$ Найдите $AB\text{,}$ если $AH=9\text{,}$ $AC=36\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $B$ проведена высота $BH$ к гипотенузе $AC\text{.}$

Рассмотрим треугольники $ABH$ и $ACB\text{.}$ У них общий острый угол $A\text{,}$ а углы $AHB$ и $ABC$ прямые. Значит, по двум углам $△ABH\sim △ACB\text{.}$

Из подобия следует пропорция соответственных сторон:

Отсюда катет $AB$ есть среднее пропорциональное между гипотенузой $AC$ и прилежащим к нему отрезком $AH\text{:}$

Значит, $AB=\sqrt{324}=18\text{.}$

Ответ: $18\text{.}$