Задача №20565

Окружности радиусов 22 и 99 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O_1$ — центр малой окружности ($r=22$), $O_2$ — центр большой ($R=99$). При внешнем касании $O_1{O}_2=r+R=22+99=121\text{.}$

Симметрия. Две общие внешние касательные $AC$ и $BD$ симметричны относительно линии центров $O_1{O}_2\text{.}$ Поэтому хорда $AB$ (точки касания на малой окружности) и хорда $CD$ (точки касания на большой) перпендикулярны прямой $O_1{O}_2\text{.}$ Значит $AB\parallel CD\text{,}$ и искомое расстояние — это отрезок линии центров между основаниями этих хорд.

Угол касательной. Обе касательные пересекаются в точке $P$ на прямой $O_1{O}_2$ (центр внешней гомотетии), лежащей со стороны малой окружности. Радиусы $O_{1}A$ и $O_{2}C$ перпендикулярны касательной $AC\text{,}$ поэтому прямоугольные треугольники $P{O}_{1}A$ и $P{O}_{2}C$ подобны. Для угла $\phi =\angle APC$ (между касательной и линией центров) верно:

Основание хорды $AB\text{.}$ Пусть $M$ — середина $AB$ (основание перпендикуляра из $A$ на линию центров). В прямоугольном треугольнике $O_{1}AM$ угол $\angle A{O}_{1}M=90^{\circ }-\phi$ (так как $O_{1}A\perp AC$), поэтому

причём $M$ лежит по ту же сторону от $O_1\text{,}$ что и $P$ (вне отрезка $O_1{O}_2$).

Основание хорды $CD\text{.}$ Аналогично для большой окружности с серединой $N$ хорды $CD\text{:}$

причём $N$ смещено от $O_2$ в сторону $P\text{,}$ то есть внутрь отрезка $O_1{O}_2\text{.}$

Складываем. Расположим точки на линии центров: $M$ на расстоянии $14$ от $O_1$ наружу, а $N$ на расстоянии $63$ от $O_2$ в сторону $O_1\text{.}$ Тогда

Расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ равно $MN=72\text{.}$

Ответ: $72\text{.}$