Окружности радиусов 33 и 99 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Пусть O1 — центр меньшей окружности (r=33), O2 — центр большей (R=99). При внешнем касании расстояние между центрами
O1O2=r+R=33+99=132.Симметрия. Вся конфигурация симметрична относительно линии центров O1O2: точки A,B — отражения друг друга, значит хорда AB⊥O1O2; аналогично CD⊥O1O2. Поэтому AB∥CD, и искомое расстояние — это отрезок PQ линии центров между основаниями этих хорд (P — основание AB, Q — основание CD).
Угол наклона касательной. Радиусы O1A и O2C перпендикулярны общей касательной AC, поэтому O1A∥O2C. Опустим из O1 перпендикуляр на прямую O2C; получим прямоугольный треугольник с гипотенузой O1O2=132 и катетом O2C−O1A=R−r=99−33=66 (разность радиусов). Если α — угол между касательной и линией центров, то
sinα=O1O2R−r=13266=21,α=30∘.Смещения оснований хорд. Радиус O1A образует с перпендикуляром к O1O2 угол α, поэтому проекция O1A на линию центров равна
O1P=O1A⋅sinα=33⋅21=16,5,причём P смещено от O1 в сторону меньшей окружности (к точке пересечения касательных). Аналогично для большей окружности
O2Q=O2C⋅sinα=99⋅21=49,5,и Q смещено от O2 в ту же сторону.
Расстояние. Отсчитывая вдоль линии центров, получаем
PQ=O1O2−O2Q+O1P=132−49,5+16,5=99.Эквивалентно: PQ=O1O2−(R−r)sinα=132−66⋅21=132−33=99.
Ответ: 99.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ