Задача №20464

Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки $A$ и $B$ лежат на первой окружности, точки $C$ и $D$ — на второй. При этом $AC$ и $BD$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD\text{.}$

Пусть $O$ — центр меньшей окружности ($r=25$), $O_1$ — центр большей ($R=100$). Окружности касаются внешним образом, поэтому $O{O}_1=r+R=125\text{.}$

Симметрия. Общие касательные $AC$ и $BD$ симметричны относительно линии центров $O{O}_1$ и пересекаются в одной точке $S$ на этой прямой. При этой симметрии $A\leftrightarrow B$ и $C\leftrightarrow D\text{,}$ значит хорды $AB$ и $CD$ перпендикулярны прямой $O{O}_1\text{.}$ Следовательно, $AB\parallel CD\text{,}$ и искомое расстояние равно длине отрезка прямой $O{O}_1$ между точками $P$ и $Q$ — основаниями перпендикуляров, опущенных на $O{O}_1$ из середин хорд (то есть проекциями точек касания на линию центров).

Угол касательной с линией центров. Опустим из $O$ и $O_1$ перпендикуляры на касательную $AC\text{;}$ их длины равны $r=25$ и $R=100\text{.}$ Разность этих радиусов, отнесённая к расстоянию между центрами, даёт синус угла $\theta$ между касательной и прямой $O{O}_1\text{:}$

Проекции точек касания. Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, поэтому $OA$ образует с линией центров угол $90^{\circ }-\theta \text{,}$ и проекция $OA$ на $O{O}_1$ равна

Аналогично для большей окружности

Обе точки касания смещены к точке пересечения касательных $S$ (в сторону меньшей окружности), поэтому $P$ лежит вне отрезка $O{O}_1$ за $O\text{,}$ а $Q$ — внутри, между $O$ и $O_1\text{.}$

Расстояние. Отмеряя вдоль $O{O}_1\text{:}$ от $O$ точка $Q$ отстоит на $O{O}_1-O_{1}Q=125-60=65$ в сторону $O_1\text{,}$ а точка $P$ — на $15$ в противоположную сторону. Значит

Проверка (общая формула). $PQ=(R+r)-(R-r)\sin \theta =(R+r)-\frac{(R-r{)}^2}{R+r}=\frac{(R+r{)}^2-(R-r{)}^2}{R+r}=\frac{4Rr}{R+r}=\frac{4\cdot 100\cdot 25}{125}=80.$ Совпало.

Ответ: $80\text{.}$