Задача №20258

Окружность с центром на стороне $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $C$ и касается прямой $AB$ в точке $B\text{.}$ Найдите диаметр окружности, если $AB=3\text{,}$ $AC=9\text{.}$

Пусть $O$ — центр окружности, $r$ — её радиус.

Что даёт условие.

• Центр $O$ лежит на стороне $AC\text{.}$
• Окружность проходит через вершину $C\text{,}$ значит $OC=r\text{.}$
• Прямая $AB$ касается окружности в точке $B\text{,}$ поэтому радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OB\perp AB\text{,}$ причём $OB=r\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABO$ (прямой угол при вершине $B$). По теореме Пифагора

С другой стороны, точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на прямой $AC\text{,}$ причём $O$ между $A$ и $C\text{,}$ поэтому

Приравниваем:

Диаметр окружности $d=2r=8\text{.}$

Проверка (касательная и секущая из точки $A$). Секущая идёт по прямой $AC$ и пересекает окружность в ближней точке на расстоянии $AC-2r=9-8=1$ и в дальней точке $C$ на расстоянии $9\text{.}$ Тогда $A{B}^2=1\cdot 9=9\text{,}$ то есть $AB=3$ — совпадает с условием.

Ответ: $8\text{.}$