Задача №19892

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD\text{,}$ если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{,}$ а $CD=40\text{.}$

В трапеции $ABCD$ основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Проведём высоты $BH$ и $CK$ к основанию $AD$ ($H,K\in AD$); их общая длина обозначим $h\text{.}$

Высота через сторону $CD\text{.}$ Углы $ABC$ и $BAD$ — односторонние при секущей $AB$ и параллельных $BC\parallel AD\text{,}$ поэтому $\angle BAD=180^{\circ }-\angle ABC=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }\text{.}$ Аналогично $\angle ADC=180^{\circ }-\angle BCD=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $CKD$ ($\angle CKD=90^{\circ }$):

Боковая сторона $AB\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $ABH$ высота, опущенная на прямую $AD\text{,}$ равна $h=AB\cdot \sin \angle BAD=AB\cdot \sin 135^{\circ }=AB\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}$

Приравнивая высоты:

Ответ: $AB=20\sqrt{6}\text{.}$