Задача №20020

В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{.}$ Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E\text{.}$ Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD\text{,}$ если $AD=20\text{,}$ $BC=10\text{.}$

Так как боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC\text{,}$ а основания $BC\parallel AD$ параллельны, то $AB$ перпендикулярна и $AD\text{.}$ Значит, $BC$ и $AD$ — это расстояния от точек $C$ и $D$ до прямой $AB\text{:}$

Прямая $AB$ касается окружности в точке $E\text{,}$ а $CD$ — хорда этой окружности. Опустим из точек $E\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ перпендикуляры на прямые:

• пусть $EH\perp CD$ — искомое расстояние от $E$ до прямой $CD\text{;}$
• $CP\perp AB$ и $DQ\perp AB$ — тогда $CP=10\text{,}$ $DQ=20\text{.}$

Ключевой факт (угол между касательной и хордой). Угол между касательной $AB$ и хордой $EC$ равен вписанному углу $\angle EDC\text{,}$ опирающемуся на ту же дугу $EC\text{.}$ Аналогично угол между касательной $AB$ и хордой $ED$ равен вписанному углу $\angle ECD\text{.}$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ECP$ (с прямым углом при $P$ на прямой $AB$) и $EHD$ (с прямым углом при $H$). В них:

поэтому $△EPC\sim △DHE$ по двум углам. Отсюда

Аналогично из треугольников $EDQ$ и $ECH$ (угол между касательной и хордой $ED$ равен $\angle ECD=\angle ECH$):

Перемножим равенства $(1)$ и $(2)\text{:}$

откуда

Таким образом, расстояние от точки $E$ до прямой $CD$ есть среднее геометрическое расстояний от концов хорды $C$ и $D$ до касательной $AB\text{.}$

Проверка. Введём вспомогательные координаты $B(0;0)\text{,}$ $C(10;0)\text{,}$ $A(0;h)\text{,}$ $D(20;h)\text{.}$ Касание прямой $x=0$ в точке $E(0;e)$ даёт центр $O(r;e)\text{;}$ из условий $OC=OD=r$ получаем $r=\frac{100+e^2}{20}$ и $(h-e{)}^2=2e^2-200\text{.}$ Расстояние от $E$ до прямой $CD$ равно $\frac{10|e+h|}{\sqrt{h^2+100}}\text{,}$ а из полученного соотношения $(e+h{)}^2=2(h^2+100)\text{,}$ поэтому расстояние равно $10\sqrt{2}$ при любом допустимом $h$ — совпадает с синтетическим ответом.

Ответ: $10\sqrt{2}\text{.}$