Задача №20487

В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC\text{.}$ Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC\text{.}$ Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны 25, 17 и 7. Найдите площадь параллелограмма $ABCD\text{.}$

Дано: $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности (инцентр); $OA=25\text{,}$ расстояние от $O$ до прямой $AD$ равно $17\text{,}$ до прямой $AC$ равно $7\text{.}$

1. Радиус вписанной окружности. Прямая $AC$ содержит сторону треугольника $ABC\text{,}$ поэтому окружность её касается, и расстояние от центра до неё равно радиусу: $r=7\text{.}$ Значит, расстояния от $O$ до всех трёх сторон $AB\text{,}$ $BC\text{,}$ $CA$ равны $7\text{.}$

2. Длина отрезка касательной из вершины $A\text{.}$ Пусть окружность касается стороны $AC$ в точке $P\text{.}$ Тогда $OP\perp AC\text{,}$ $OP=r=7\text{,}$ $OA=25\text{,}$ и из прямоугольного треугольника $AOP\text{:}$

По свойству отрезков касательных из вершины $A$ имеем $AP=s-a\text{,}$ где $s$ — полупериметр, $a=BC\text{.}$ Значит $s-a=24\text{.}$

3. Высота треугольника из вершины $A\text{.}$ В параллелограмме $AD\parallel BC\text{.}$ Расстояние от $O$ до прямой $BC$ равно $r=7\text{,}$ а до прямой $AD$ равно $17\text{;}$ точка $O$ лежит между этими параллельными прямыми, поэтому расстояние между ними равно $7+17=24\text{.}$ Так как вершина $A$ лежит на прямой $AD\text{,}$ высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на сторону $BC\text{,}$ равна $h_a=24\text{.}$

4. Находим сторону $BC\text{.}$ Площадь треугольника $ABC$ выразим двумя способами:

Отсюда $7s=12a\text{.}$ С учётом $s=a+24$ (из п. 2):

5. Площадь параллелограмма. Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому

Проверка: $S_{ABCD}=BC\cdot h_a=33,6\cdot 24=806,4$ (высота между параллельными сторонами $AD$ и $BC$ равна $24$) — совпадает.

Ответ: $806,4\text{.}$