Задача №20546

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч.

Пусть весь путь из $A$ в $B$ равен $S$ км, а скорость первого автомобиля $v$ км/ч (по условию $v>45$).

Время первого автомобиля. Он едет весь путь с постоянной скоростью:

Время второго автомобиля. Первую половину пути $\frac{S}{2}$ он едет со скоростью $v-6\text{,}$ вторую половину $\frac{S}{2}$ — со скоростью $56\text{:}$

Условие одновременного прибытия даёт $t_1=t_2\text{.}$ Разделим обе части на $S\text{:}$

Перенесём $\frac{1}{112}$ влево:

Перекрёстное умножение:

Раскроем скобки:

Дискриминант: $D=62^2-4\cdot 672=3844-2688=1156=34^2\text{,}$ поэтому

Условию $v>45$ удовлетворяет только $v=48\text{.}$

Проверка. При $v=48\text{:}$ $t_1=\frac{S}{48}\text{;}$ $t_2=\frac{S}{2\cdot 42}+\frac{S}{2\cdot 56}=S\left(\frac{1}{84}+\frac{1}{112}\right)=S\cdot \frac{7}{336}=\frac{S}{48}=t_1\text{.}$ Совпадает.

Ответ: $48$ км/ч.