Баржа прошла по течению реки 72 км и, повернув обратно, прошла ещё 54 км, затратив на весь путь 9 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача №20542: Текстовые задачи

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи (по условию $x > 5$ ).

Тогда скорость по течению равна $x + 5$ км/ч, а против течения — $x - 5$ км/ч.

Время движения по течению: $\frac{72}{x + 5}$ ч; время движения против течения: $\frac{54}{x - 5}$ ч. Суммарное время равно 9 ч:

\frac{72}{x + 5} + \frac{54}{x - 5} = 9.

Умножим обе части на $(x + 5) (x - 5) :$

72 (x - 5) + 54 (x + 5) = 9 (x^{2} - 25) .

Раскроем скобки:

72 x - 360 + 54 x + 270 = 9 x^{2} - 225,

126 x - 90 = 9 x^{2} - 225.

Перенесём всё в одну сторону и разделим на 9:

9 x^{2} - 126 x - 135 = 0 \Rightarrow x^{2} - 14 x - 15 = 0.

По теореме Виета корни $x_{1} = 15$ и $x_{2} = - 1 .$ Условию $x > 5$ удовлетворяет только $x = 15 .$

Проверка: $\frac{72}{20} + \frac{54}{10} = 3, 6 + 5, 4 = 9$ ч — верно.

Ответ: собственная скорость баржи равна $15$ км/ч.