Задача №20089

Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А.
К этому времени плот проплыл 36 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Время движения плота. Плот не имеет собственной скорости и плывёт со скоростью течения $4$ км/ч. К моменту возвращения лодки плот проплыл $36$ км, значит с момента старта плота прошло

Время движения лодки. Лодка вышла на час позже плота, поэтому она была в пути

За это время лодка прошла путь $A\to B$ по течению и $B\to A$ против течения, то есть $126$ км туда и $126$ км обратно.

Уравнение. Пусть $v$ (км/ч) — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость по течению равна $v+4\text{,}$ против течения — $v-4\text{.}$ Суммарное время движения:

Решение. Приведём к общему знаменателю:

Отсюда $252v=8(v^2-16)\text{,}$ то есть

Дискриминант: $D=63^2+4\cdot 2\cdot 32=3969+256=4225=65^2\text{.}$ Тогда

Корень $v=\frac{63-65}{4}<0$ не подходит; остаётся $v=\frac{63+65}{4}=\frac{128}{4}=32$ км/ч.

Проверка. По течению: $126:(32+4)=3,5$ ч; против течения: $126:(32-4)=4,5$ ч; итого $8$ ч — совпадает.

Ответ: $32$ км/ч.