Задача №20102

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=6\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 6.

Шаг 1. Биссектрисы перпендикулярны.
Углы $A$ и $B$ параллелограмма — соседние, поэтому $\angle A+\angle B=180^{\circ }\text{.}$ Их биссектрисы отсекают половины углов, сумма которых $\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=90^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $ABK$ тогда

то есть $ABK$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

Шаг 2. Находим сторону $AB\text{.}$
Обозначим $\angle A=\alpha \text{,}$ тогда в прямоугольном треугольнике $ABK\text{:}$ $\angle KAB=\frac{\alpha }{2}\text{,}$ $\angle KBA=90^{\circ }-\frac{\alpha }{2}\text{.}$ Опустим из $K$ перпендикуляр $KP$ на $AB\text{;}$ его длина — расстояние от $K$ до $AB\text{,}$ то есть $KP=6\text{.}$

Из прямоугольных треугольников с общим катетом $KP\text{:}$

Следовательно,

Шаг 3. Площадь параллелограмма.
Высота параллелограмма, опущенная на сторону $AB$ (расстояние между $AB$ и $CD$), равна $h=AD\sin \alpha =BC\sin \alpha =6\sin \alpha \text{.}$ Тогда

Площадь не зависит от угла $\alpha \text{.}$

Ответ: $72\text{.}$