Задача №19966

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=8\text{,}$ $CK=13\text{.}$

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Тогда $\angle BAK=\angle KAD$ (по определению биссектрисы).

В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC\parallel AD\text{,}$ а прямая $AK$ — секущая. Значит, углы $\angle KAD$ и $\angle AKB$ — накрест лежащие, поэтому $\angle KAD=\angle AKB\text{.}$

Отсюда $\angle BAK=\angle AKB\text{,}$ то есть треугольник $ABK$ равнобедренный, и

Сторона $BC=BK+CK=8+13=21\text{.}$

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому периметр

Ответ: $58\text{.}$