Задача №20540

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите площадь параллелограмма, если $BC=7\text{,}$ а расстояние от точки $K$ до стороны $AB$ равно 4.

Дано: параллелограмм $ABCD\text{,}$ $BC=7\text{;}$ биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $K\text{;}$ расстояние от $K$ до прямой $AB$ равно $4\text{.}$

1. Биссектриса угла $A$ отсекает равнобедренный треугольник. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $M\text{.}$ Обозначим $\angle BAM=\angle MAD=\alpha \text{.}$ Так как $AD\parallel BC\text{,}$ то $\angle AMB=\angle MAD=\alpha$ (накрест лежащие углы при секущей $AM$). Значит, в треугольнике $ABM$ углы при вершинах $A$ и $M$ равны, поэтому он равнобедренный:

2. $K$ — середина $AM\text{.}$ В параллелограмме соседние углы дают в сумме $180^{\circ }\text{,}$ поэтому $\frac{\angle A}{2}+\frac{\angle B}{2}=90^{\circ }\text{,}$ и биссектрисы углов $A$ и $B$ перпендикулярны: $\angle AKB=90^{\circ }\text{,}$ то есть $BK\perp AM\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $ABM$ ($BA=BM$) биссектриса угла $B$ является одновременно высотой и медианой к основанию $AM\text{.}$ Значит, $K$ — середина отрезка $AM\text{.}$

3. Высота параллелограмма. Расстояние от точки до прямой $AB$ будем измерять как перпендикуляр к $AB\text{.}$ Точка $A$ лежит на $AB$ (расстояние $0$), а $K$ — середина $AM\text{,}$ поэтому расстояние от $M$ до $AB$ вдвое больше расстояния от $K\text{:}$

Точка $M$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Так как $B$ находится на прямой $AB$ (расстояние $0$), а $C$ — на высоте $h$ параллелограмма, то расстояние точек отрезка $BC$ до $AB$ меняется линейно, и

4. Площадь. Отсюда $h\cdot AB=56\text{.}$ Но площадь параллелограмма равна произведению стороны $AB$ на высоту $h\text{,}$ опущенную на неё:

Ответ: $56\text{.}$