Задача №20537

Решите неравенство $\frac{x^2-9x+20}{x-4}\le 0\text{.}$

Разложим числитель на множители. Корни квадратного трёхчлена $x^2-9x+20\text{:}$ по теореме Виета $x_1=4,x_2=5$ (сумма $9\text{,}$ произведение $20$), поэтому

Неравенство принимает вид

Область определения: $x\ne 4$ (знаменатель не равен нулю).

Применим метод интервалов. Нули числителя: $x=4$ и $x=5\text{;}$ нуль знаменателя: $x=4\text{.}$ Отметим на прямой точки $x=4$ (выколота — не входит в ОДЗ) и $x=5$ (закрашена — неравенство нестрогое, значение выражения равно $0$).

Определим знак выражения $\frac{(x-4)(x-5)}{x-4}$ на промежутках:

• $x<4$ (например $x=0$): $\frac{(-4)(-5)}{-4}=-5<0$ — подходит;
• $4<x<5$ (например $x=4,5$): $\frac{(0,5)(-0,5)}{0,5}=-0,5<0$ — подходит;
• $x>5$ (например $x=6$): $\frac{(2)(1)}{2}=1>0$ — не подходит.

При $x=5$ выражение равно $0$ — включаем; при $x=4$ — не определено, исключаем.

Объединяя подходящие промежутки, получаем $x\in (-\infty ;4)\cup (4;5]\text{.}$

Ответ: $(-\infty ;4)\cup (4;5]\text{.}$