Задача №20299

Решите неравенство $\frac{x^2-10x+24}{x-4}\le 0\text{.}$

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, значит $x-4\ne 0\text{,}$ то есть $x\ne 4\text{.}$

Разложим числитель на множители. Корни уравнения $x^2-10x+24=0\text{:}$ по теореме Виета $x_1=4\text{,}$ $x_2=6$ (сумма $10\text{,}$ произведение $24$). Значит $x^2-10x+24=(x-4)(x-6)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

При $x\ne 4$ множитель $\frac{x-4}{x-4}=1>0\text{,}$ поэтому знак дроби совпадает со знаком $(x-6)\text{.}$ Решаем методом интервалов для функции $f(x)=\frac{(x-4)(x-6)}{x-4}$ с граничными точками $x=4$ (выколота, не входит в ОДЗ) и $x=6\text{.}$

• при $x<4$ (например $x=0$): $f(0)=\frac{(-4)(-6)}{-4}=-6<0$ — подходит;
• при $4<x<6$ (например $x=5$): $f(5)=\frac{(1)(-1)}{1}=-1<0$ — подходит;
• при $x>6$ (например $x=7$): $f(7)=\frac{(3)(1)}{3}=1>0$ — не подходит.

В точке $x=6$ числитель равен нулю, дробь равна $0\text{,}$ а нестрогое неравенство $\le 0$ выполнено — точку включаем. Точку $x=4$ исключаем (не входит в ОДЗ).

Ответ: $(-\infty ;4)\cup (4;6]\text{.}$