Задача №20432

Решите неравенство

$$(3-x)(x^2-9)\ge 0.$$

Разложим левую часть на множители. Так как $x^2-9=(x-3)(x+3)\text{,}$ а $3-x=-(x-3)\text{,}$ то

$$(3-x)(x^2-9)=-(x-3)\cdot (x-3)(x+3)=-(x-3{)}^2(x+3).$$

Неравенство $(3-x)(x^2-9)\ge 0$ равносильно

$$-(x-3{)}^2(x+3)\ge 0⟺(x-3{)}^2(x+3)\le 0.$$

Множитель $(x-3{)}^2\ge 0$ при всех $x\text{.}$ Значит произведение $(x-3{)}^2(x+3)$ не положительно только в двух случаях:

• $(x-3{)}^2=0\text{,}$ то есть $x=3$ (тогда всё произведение равно $0$);
• $(x-3{)}^2>0$ и $x+3\le 0\text{,}$ то есть $x\le -3\text{.}$

Объединяя, получаем $x\le -3$ или $x=3\text{.}$

Проверка. При $x=-4\text{:}$ $(3-(-4))(16-9)=7\cdot 7=49\ge 0$ — верно. При $x=0\text{:}$ $3\cdot (-9)=-27<0$ — не входит. При $x=3\text{:}$ $0\cdot 0=0\ge 0$ — верно. При $x=4\text{:}$ $(-1)\cdot 7=-7<0$ — не входит. Всё согласуется с найденным множеством.

Ответ: $x\le -3$ или $x=3\text{,}$ то есть $x\in (-\infty ;-3]\cup \{3\}\text{.}$