Задача №20535

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B\text{,}$ в отношении $5:3\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=8\text{.}$

Пусть $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ проведённая из вершины $B$ на прямую $AC$ ($H$ — её основание, $\angle AHB=90^{\circ }$). Биссектриса угла $A$ пересекает эту высоту в точке $P\text{,}$ причём по условию $BP:PH=5:3\text{,}$ считая от $B\text{.}$

Шаг 1. Применяем теорему о биссектрисе в треугольнике $ABH\text{.}$
Точка $H$ лежит на прямой $AC\text{,}$ поэтому луч $AH$ совпадает с лучом $AC\text{,}$ и биссектриса угла $BAC$ является биссектрисой угла $BAH$ в треугольнике $ABH\text{.}$ Эта биссектриса выходит из вершины $A$ и пересекает противоположную сторону $BH$ в точке $P\text{.}$ По свойству биссектрисы:

Значит $\frac{AB}{AH}=\frac{5}{3}\text{.}$

Шаг 2. Находим $\cos A\text{.}$
В прямоугольном треугольнике $ABH$ ($\angle H=90^{\circ }$) катет $AH$ прилежит к углу $A\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза, поэтому

Тогда $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$ (угол $A$ острый, так как $\cos A>0$).

Шаг 3. Радиус описанной окружности по теореме синусов.
Сторона $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому

откуда $R=5\text{.}$

Ответ: $R=5\text{.}$