Задача №20531

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 44. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $P$ — точка пересечения биссектрисы $BE$ и медианы $AD\text{;}$ по условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=44\text{.}$ Точка $D$ — середина $BC\text{,}$ точка $E$ лежит на $AC\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
Так как $D$ лежит на стороне $BC\text{,}$ луч $BE$ (биссектриса угла $ABC$) является биссектрисой угла $ABD$ в треугольнике $ABD\text{.}$ Но эта же прямая перпендикулярна стороне $AD\text{,}$ то есть служит высотой к $AD\text{.}$ Если в треугольнике биссектриса из вершины совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный:

Поскольку $D$ — середина $BC\text{,}$ получаем $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ откуда $BC=2AB\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABD$ эта биссектриса-высота является и медианой, поэтому её основание $P$ — середина $AD\text{:}$

Шаг 2. Находим $PE$ и $BP\text{.}$
Проведём через середину $D$ стороны $BC$ отрезок $DQ\parallel BE$ ($Q$ на $EC$). В треугольнике $BCE$ отрезок $DQ$ — средняя линия, значит $Q$ — середина $EC$ и

Теперь в треугольнике $ADQ$ прямая $PE\parallel DQ$ проходит через середину $P$ стороны $AD\text{,}$ поэтому по теореме о средней линии $E$ — середина $AQ$ и

Отсюда $BP=BE-PE=44-11=33\text{.}$

Шаг 3. Стороны $AB$ и $BC\text{.}$
В прямоугольном треугольнике $APB$ ($\angle APB=90^{\circ }$) катеты $AP=22\text{,}$ $BP=33\text{:}$

Тогда

Шаг 4. Сторона $AC\text{.}$
Из $AE=EQ=QC$ (E — середина $AQ\text{,}$ Q — середина $EC$) следует $AC=3AE\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $APE$ ($\angle APE=90^{\circ }$) катеты $AP=22\text{,}$ $PE=11\text{:}$

Проверка. $AD=AP+PD=44\text{,}$ $BE=BP+PE=44$ — совпадает с условием.

Ответ: $AB=11\sqrt{13}\text{,}$ $BC=22\sqrt{13}\text{,}$ $AC=33\sqrt{5}\text{.}$