Задача №18874

В треугольнике $ABC$ биссектриса $BE$ и медиана $AD$ перпендикулярны
и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника $ABC\text{.}$

Пусть $D$ — середина $BC$ (так как $AD$ — медиана), $E$ — точка на $AC$ (так как $BE$ — биссектриса угла $B$), а $P$ — точка пересечения $BE$ и $AD\text{.}$ По условию $BE\perp AD$ и $BE=AD=40\text{.}$

Шаг 1. Треугольник $ABD$ равнобедренный.
Луч $BP$ (часть биссектрисы $BE$) делит угол $ABD$ пополам, ведь $D$ лежит на $BC\text{,}$ значит $\angle ABD=\angle ABC\text{.}$ При этом $BP\perp AD\text{.}$ В треугольнике $ABD$ прямая $BP$ одновременно является биссектрисой угла $B$ и высотой к стороне $AD$ — а такой треугольник равнобедренный:

Отсюда $BP$ — ещё и медиана к $AD\text{,}$ поэтому $P$ — середина $AD$ и

Шаг 2. Стороны при вершине $B\text{.}$
Поскольку $BD=\frac{1}{2}BC\text{,}$ из $AB=BD$ получаем

Шаг 3. Находим $BP\text{.}$
Проведём через точку $D$ прямую $DF\parallel BE\text{,}$ где $F$ лежит на $AC\text{.}$

В треугольнике $BEC$ точка $D$ — середина $BC\text{,}$ а $DF\parallel BE\text{,}$ поэтому $DF$ — средняя линия: $F$ — середина $EC$ и

В треугольнике $ADF$ точка $P$ — середина $AD\text{,}$ а $PE\parallel DF\text{,}$ поэтому $E$ — середина $AF$ и

(Заодно $AE=EF=FC\text{,}$ то есть $AE:EC=1:2\text{,}$ что согласуется со свойством биссектрисы $AE:EC=AB:BC=1:2\text{.}$)

Тогда

Шаг 4. Стороны $AB$ и $BC\text{.}$
В прямоугольном треугольнике $APB$ ($\angle APB=90^{\circ }$) по теореме Пифагора:

Шаг 5. Сторона $AC\text{.}$
По формуле длины медианы $AD$ к стороне $BC\text{:}$

Подставляя $AD=40\text{,}$ $A{B}^2=1300\text{,}$ $B{C}^2=5200\text{:}$

Проверка. Длина биссектрисы: $t_B^2=AB\cdot BC\left(1-\frac{A{C}^2}{(AB+BC{)}^2}\right)=1300\cdot 2\left(1-\frac{4500}{(30\sqrt{13}{)}^2}\right)=2600\left(1-\frac{5}{13}\right)=1600\text{,}$ то есть $BE=40\text{.}$ Совпадает.

Ответ: $AB=10\sqrt{13}\text{,}$ $BC=20\sqrt{13}\text{,}$ $AC=30\sqrt{5}\text{.}$