В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

Пусть D — середина BC (так как AD — медиана), E — точка на AC (так как BE — биссектриса угла B), а P — точка пересечения BE и AD. По условию BE AD и BE = AD = 40. Шаг 1. Треугольник ABD равнобедренный. Луч BP (часть биссектрисы BE) делит угол ABD пополам, ведь D лежит на BC, значит ABD = ABC. При этом BP AD. В треугольнике ABD прямая BP одновременно является биссектрисой угла B и высотой к стороне AD — а такой треугольник равнобедренный: AB = BD. Отсюда BP — ещё и медиана к AD, поэтому P — середина AD и AP = PD = (40)/(2) = 20. Шаг 2. Стороны при вершине B. Поскольку BD = 12 BC, из AB = BD получаем BC = 2AB. Шаг 3. Находим BP. Проведём через точку D прямую DF BE, где F лежит на AC. В треугольнике BEC точка D — середина BC, а DF BE, поэтому DF — средняя линия: F — середина EC и DF = 12 BE = 20. В треугольнике ADF точка P — середина AD, а PE DF, поэтому E — середина AF и PE = 12 DF = 10. (Заодно AE = EF = FC, то есть AE : EC = 1 : 2, что согласуется со свойством биссектрисы AE:EC = AB:BC = 1:2.) Тогда BP = BE - PE = 40 - 10 = 30. Шаг 4. Стороны AB и BC. В прямоугольном треугольнике APB ( APB = 90^) по теореме Пифагора: AB^2 = AP^2 + BP^2 = 20^2 + 30^2 = 400 + 900 = 1300, AB = sqrt(1300) = 10sqrt(13), BC = 2AB = 20sqrt(13). Шаг 5. Сторона AC. По формуле длины медианы AD к стороне BC: AD^2 = (2AB^2 + 2AC^2 - BC^2)/(4). Подставляя AD = 40, AB^2 = 1300, BC^2 = 5200: 1600 = (2* 1300 + 2AC^2 - 5200)/(4) =>6400 = 2AC^2 - 2600 =>AC^2 = 4500, AC = sqrt(4500) = 30sqrt(5). Проверка. Длина биссектрисы: t_B^2 = AB* BC(1 - (AC^2)/((AB+BC)^2)) = 1300* 2(1 - (4500)/((30sqrt(13))^2)) = 2600(1 - (5)/(13)) = 1600, то есть BE = 40. Совпадает. Ответ: AB = 10sqrt(13), BC = 20sqrt(13), AC = 30sqrt(5).

\(AB = 10\sqrt{13}\), \(BC = 20\sqrt{13}\), \(AC = 30\sqrt{5}\)