В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.

Задача №20086: Геометрические задачи повышенной…

Пусть высота из вершины $B$ падает на прямую $A C$ в точке $H$ (то есть $B H ⊥ A C$ ), а биссектриса угла $A$ пересекает эту высоту в точке $P,$ причём $B P : P H = 5 : 3 .$

Шаг 1. Введём половину угла $A .$ Обозначим $∠ A = 2 α,$ тогда биссектриса делит угол $A$ на две части по $α .$

Шаг 2. Выразим отрезки высоты через прямоугольные треугольники.
В прямоугольном треугольнике $A B H$ ( $∠ H = 9 0^{\circ},$ $∠ B A H = 2 α$ ):

B H = A B sin 2 α, A H = A B cos 2 α .

В прямоугольном треугольнике $A P H$ ( $∠ H = 9 0^{\circ},$ $∠ P A H = α,$ так как $A P$ — биссектриса):

P H = A H tg α = A B cos 2 α tg α .

Шаг 3. Составим отношение $B P : P H .$ Так как $B P = B H - P H,$ то

\frac{B P}{P H} = \frac{B H}{P H} - 1 = \frac{A B sin 2 α}{A B cos 2 α tg α} - 1 = \frac{tg 2 α}{tg α} - 1.

Подставим $tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - tg ^{2} α}$ и обозначим $t = tg α :$

\frac{B P}{P H} = \frac{2}{1 - t ^{2}} - 1 = \frac{1 + t ^{2}}{1 - t ^{2}} .

Шаг 4. Найдём $α .$ По условию отношение равно $\frac{5}{3} :$

\frac{1 + t ^{2}}{1 - t ^{2}} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 (1 + t^{2}) = 5 (1 - t^{2}) \Rightarrow 8 t^{2} = 2 \Rightarrow t^{2} = \frac{1}{4}, t = \frac{1}{2} .

Шаг 5. Найдём $sin A .$

sin A = sin 2 α = \frac{2 tg α}{1 + tg ^{2} α} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} .

Шаг 6. Радиус описанной окружности. По теореме синусов сторона $B C$ лежит против угла $A,$ значит

R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{16}{2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{16}{\frac{8}{5}} = 10.

Ответ: $R = 10 .$

Задача №20086

Задача #20086

Решай похожие задачи

Информация

Задача #20086

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация