Задача №20465

В треугольнике $ABC$ биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую
из вершины $B\text{,}$ в отношении $5:4\text{,}$ считая от точки $B\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC\text{,}$ если $BC=6\text{.}$

Обозначения. Пусть $BH$ — высота из вершины $B\text{,}$ её основание $H$ лежит на прямой $AC\text{.}$ Биссектриса угла $A$ пересекает отрезок $BH$ в точке $P\text{,}$ причём по условию $BP:PH=5:4$ (считая от $B$).

Шаг 1. Работаем в прямоугольном треугольнике $ABH\text{.}$ Так как $BH\perp AC\text{,}$ треугольник $ABH$ прямоугольный с прямым углом при $H\text{.}$ Угол при вершине $A$ в нём равен углу $A$ треугольника $ABC\text{;}$ обозначим $\angle A=\alpha \text{.}$ Луч $AP$ — биссектриса угла $A\text{,}$ поэтому в треугольнике $ABH$ отрезок $AP$ является биссектрисой угла $A\text{,}$ проведённой к стороне $BH\text{.}$

Шаг 2. Теорема о биссектрисе. Биссектриса делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон:

В прямоугольном треугольнике $ABH$ катет $AH=AB\cos \alpha \text{,}$ поэтому

Шаг 3. Находим угол $A\text{.}$ По условию $\frac{BP}{PH}=\frac{5}{4}\text{,}$ значит

Шаг 4. Радиус описанной окружности. По теореме синусов для треугольника $ABC$ сторона $BC$ лежит против угла $A\text{:}$

Ответ: $R=5\text{.}$