Задача №20530

Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$ Найдите периметр параллелограмма, если $BK=6\text{,}$ $CK=10\text{.}$

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $BC$ в точке $K\text{.}$

Шаг 1. Равные углы. Так как $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то

В параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AK$ — секущая. Углы $\angle KAD$ и $\angle AKB$ — накрест лежащие при $AD\parallel BC\text{,}$ поэтому

Шаг 2. Равнобедренный треугольник. Из двух равенств получаем

Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, и стороны, лежащие против равных углов, равны:

Шаг 3. Периметр. Сторона $BC=BK+CK=6+10=16\text{.}$ В параллелограмме противоположные стороны равны: $CD=AB=6$ и $AD=BC=16\text{.}$ Тогда

Ответ: $44\text{.}$