Задача №20268

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим половины диагоналей $OA=p$ и $OB=q\text{.}$ Одна из диагоналей равна $60\text{,}$ поэтому соответствующая половина равна $p=\frac{60}{2}=30\text{.}$

Рассмотрим треугольник $AOB\text{:}$ он прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{,}$ катеты $OA=p\text{,}$ $OB=q\text{,}$ гипотенуза $AB$ — сторона ромба:

Расстояние от $O$ до стороны $AB$ — это высота $OH\text{,}$ опущенная из прямого угла на гипотенузу, по условию $OH=15\text{.}$

Площадь треугольника $AOB$ выразим двумя способами:

Приравняем и подставим $p=30\text{:}$

Отсюда $q^2=300\text{,}$ $q=10\sqrt{3}\text{.}$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому угол $OAB$ — половина угла $A\text{.}$ Из прямоугольного треугольника $AOB\text{:}$

значит $\angle OAB=30^{\circ }\text{,}$ а весь угол $A=2\cdot 30^{\circ }=60^{\circ }\text{.}$

Соседний угол ромба: $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }\text{.}$

Проверка: сторона $AB=\sqrt{30^2+(10\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{900+300}=20\sqrt{3}\text{;}$ площадь ромба $\frac{60\cdot 20\sqrt{3}}{2}=600\sqrt{3}\text{,}$ высота ромба $\frac{600\sqrt{3}}{20\sqrt{3}}=30\text{,}$ а расстояние от центра до стороны равно половине высоты — $15\text{.}$ Совпадает с условием.

Ответ: углы ромба равны $60^{\circ }$ и $120^{\circ }\text{.}$